UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học: 2011- 2012 - Môn: Toán
Ngày thi: 06/10/2012
ĐỀ CHÍNH THỨC: Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1: ( 3,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Câu 2: (3,0 điểm)
Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn
. Chứng minh rằng :



Câu 3: ( 3,0 điểm)

a. Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x -

b. Cho a; b; c > 0 và:
= 2. Tìm giá trị lớn nhất abc.


Câu 4: (3,0 điểm) :
Giải phương trình :


Câu 5 : (4.0 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC, CA và AB tương ứng là x , y và z .
Tính

Câu 6: (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O,r) .Xét hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn nói trên

trong đó BC //AD ;

=
;
=
với

900 ,

900 .
a. Chứng tỏ:


b. Tính S ABCD theo r ,
,
. Với các góc
,
bằng bao nhiêu thì hình thang ABCD có diện tích nhỏ nhất và tính S nhỏ nhất theo r. ( S là diện tích của hình thang ABCD )



UBND HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2011– 2012 - Môn : Toán


Câu
Đáp án
Điểm




Câu 1


3,0 đ
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
=
(x + y)(x + 4y)
.
(x + 2y)(x + 3y)
+ y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y
Z nên x2 + 5xy + 5y2
Z

A là số chính phương


0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5






Câu 2




3,0 đ
Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1)


Tương tự :

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

(1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận được :


(2)
Từ (1) và (2)


Đẳng thức xảy ra


0,5

0,5


1,0

0,5


0,5





Câu 3

3,0 đ

a



0,5


0,5






0,5







b

+ Tính được:
(1)
+ Tượng tự ta có:
(2)

(3)
+ Chỉ ra được các vế của các BĐT (1); (2); (3) đều dương nên nhân từng vế các BĐT (1); (2); (3) suy ra được: abc


+ Kết luận max abc =
khi a = b = c =


0,5




0,25


0,5

0,25




Câu 4


3,0 đ





Điều kiện :

Ta có :